takahara さんの出題（それぞれ半直線に接し、互いに外接する２円）の解答

Q→Aのとき,P→A

R→Bのとき,P→Bだから,

A,Bも点Pの軌跡となる円周上にある。

すなわち,軌跡となる円は△ABPの外接円となる。

よって,任意の点Pに対して,△ABPの外接円は不変であることを示せば

点Pの軌跡はその外接円であると言える。

このためには△ABPの外心が点Pによらない定点であることを示せばよい。

左図のように△ABPの外心をCとすると,

△ACQと△PCQについて,

AQ=PQ, AC=PC, CQ共通

∴△ACQ≡△PCQ

よって,∠AQC=∠PQC=βとする。

同様に,∠BRC=∠PRC=αとして,

∠AOB=2θとし,

直線AQ,BRの交点をTとすると,

∠OAT=∠OBT=90度だから,4点OATBは同一円周上にあり,

∠ATB=180度-2θ

よって,△TRQに対して,

(180度-2θ)+(180度-2α)+(180度-2β)=180度

∴θ+α+β=180度

このとき,

∠ACB=∠ACQ+∠QCP+∠PCR+∠RCB=2(∠QCP+∠PCR)=2θ=∠AOB

したがって,点Cは4点OATBを通る円周の弧AOB上のAC=CBとなる点である。

すなわち,点Cは点Pによらない定点である。