$\sqrt{2}$ が無理 数である ことの証明（高校教科書に多くある例）

証明）

$\sqrt{2}$ が無理数でない,つまり,有理数であると仮定 すると, $\sqrt{2}$ は既約分数で 表すことができる.

すなわち,互いに素な（1以外に公約数を持たない）整数 $a,~b$ を使って,

\[\sqrt{2}=\frac{a}{b}\]

と書ける。 これを平方整理して,

\[a^2=2b^2\]

だから, $a^2$ は偶数,すなわち $a$ は偶数となる. したがって,整数 $c$ を使って,

\[a=2c\]

と書ける。 これを, $a^2=2b^2$ に代入すると,

\[(2c)^2=2b^2\] \[b^2=2c^2\]

となり, $b^2$ は偶数,すなわち $b$ は偶数となる. このとき, $a,~b$ は公約数2を持つことになり,1以外に公約数を持たないということと矛盾する。

この矛盾は最初に $\sqrt{2}$ が有理数であるとしたことが原因であり, $\sqrt{2}$ は無理数であ る。